学校-线性代数

《线性代数》期末复习知识总结

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课时一 行列式概念

核心知识点

1. 排列及逆序数

• 排列：由 $1,2,\cdots,n$ 组成的有序数组，称为一个 $n$ 元排列。
• 逆序：大数在小数前，用 $\tau$ 表示。
• 逆序数：一个排列的总逆序数。

2. 行列式的定义

（1）二阶行列式

• 主对角线元素为：$a_{11}$，$a_{22}$；副对角线元素为：$a_{12}$，$a_{21}$
• 定义式：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

（2）三阶行列式

• 注意：每个元素都是不同行不同列。
• 定义式：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

（3）$n$ 阶行列式定义

• 注意：每个元素都是不同行不同列。
• 定义式：$|a_{ij}|=\sum_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$，其中 $\tau(p_1p_2\cdots p_n)$ 为排列 $p_1p_2\cdots p_n$ 的逆序数。

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课时二 行列式的性质

核心知识点

1. 几种特殊的行列式

（1）对角行列式

• 主对角行列式：$\begin{vmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&\ddots\\&&&\lambda-n\end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda-n$
• 副对角行列式：$\begin{vmatrix}&&&\lambda_1\\&&\lambda_2&\\&\ddots&&\\\lambda-n&&&\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda-n$

（2）上（下）三角行列式

• 上三角行列式：$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
• 下三角行列式：$\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

2. 行列式的性质

• 转置相等：$|A^T|=|A|$
• 交换行（列）反号：交换行列式的两行（列），行列式的值变号
• 数乘行列式：$k\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}ka_{11}&\cdots&ka_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{n1}&\cdots&ka_{nn}\end{vmatrix}$
• 两行或两列成比例，行列式为0：若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为0
• 拆分行列式：$\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
• 倍加某行（列），行列式的值不变：将行列式的某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变

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课时三 行列式的展开

核心知识点

1. 余子式和代数余子式

• 余子式：在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的行和列去掉后，留下来的 $(n-1)$ 阶行列式叫做余子式，记作 $M_{ij}$。
• 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，称作 $a_{ij}$ 的代数余子式。

2. 行列式按行（列）展开

• 定理：行列式等于它任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。
• 按第 $i$ 行展开：$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$（$i=1,2,\cdots,n$）
• 按第 $j$ 列展开：$|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$（$j=1,2,\cdots,n$）
• 注：在展开过程中尽量选元素多的行或列。

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课时四 行列式的计算

核心知识点

1. 性质的使用

• 每行（列）元素之和相同：先将所有列（行）加到第一列（行），提取公因子后再化简。
• 爪型行列式：通过倍加行（列）将其化为三角行列式或对角行列式。

2. 递推法

• 递推公式：建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$（或 $D_{n-2}$ 等）之间的递推关系，逐步求解。

3. 加边法

• 原理：在行列式中添加一行一列，保持行列式的值不变，再利用性质化简。
• 适用场景：行列式中各列（行）有公因子或可以构造公因子的情况。

4. 范德蒙行列式

• 定义式：$V_n=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)$

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课时五 行列式的应用

核心知识点

1. 克拉默法则

（1）适用条件

• 未知量的个数等于方程个数。
• 系数行列式 $D\neq0$。

（2）定理内容

对于线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$，若系数行列式 $D\neq0$，则方程组有唯一解：$x_j=\frac{D_j}{D}$（$j=1,2,\cdots,n$），其中 $D_j$ 是将 $D$ 的第 $j$ 列元素替换为常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 后得到的行列式。

（3）齐次线性方程组的特殊情况

• 齐次线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}$ 有非零解的充要条件是系数行列式 $D=0$。

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课时六 矩阵的概念

核心知识点

1. 矩阵定义

• 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 排成 $m$ 行 $n$ 列的数表，记为 $A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})$。
• 当 $m=n$ 时，称为 $n$ 阶方阵 $A_n$。

2. 特殊矩阵

• 同型矩阵：$A_{m\times n}$ 与 $B_{m\times n}$ 为同型矩阵（行数和列数分别相等）。
• $n$ 阶矩阵：$A_{n\times n}$（行数=列数=$n$）。
• 行（列）矩阵：
  • 行向量：$A=(a_1\cdots -n)$（1行$n$列）。
  • 列向量：$B=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$（$n$行1列）。
• 零矩阵：所有元素均为0的矩阵，记为 $O$。
• 单位矩阵：主对角线元素均为1，其余元素均为0的 $n$ 阶方阵，记为 $E_n$，如 $E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。

3. 矩阵的运算

（1）矩阵的相等

• 若 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 与 $B=(b_{ij})_{m\times n}$ 为同型矩阵，且 $a_{ij}=b_{ij}$（对所有 $i,j$），则 $A=B$。

（2）加减法

• 定义：$A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$，$A-B=(a_{ij}-b_{ij})_{m\times n}$。
• 注：仅同型矩阵可进行加减运算。

（3）数乘

• 定义：$kA=(ka_{ij})_{m\times n}$（$k$ 为常数）。

（4）矩阵的乘法

• 定义：设 $A_{m\times s}=(a_{ij})_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(b_{ij})_{s\times n}$，则 $C=AB=(c_{ij})_{m\times n}$，其中 $c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}$。
• 注：
  • 矩阵乘法一般不满足交换律，即 $AB\neq BA$。
  • 若 $AB=BA$，称 $A$ 与 $B$ 为可交换矩阵。
  • 若 $AB=O$，不能推出 $A=O$ 或 $B=O$。

（5）方阵的幂

• 定义：$A^k=A\cdot A\cdots A$（$k$ 个 $A$ 相乘），$A^0=E$。

（6）转置

• 定义：将矩阵 $A$ 的行与列互换得到的矩阵，记为 $A^T$，即若 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，则 $A^T=(a_{ji})_{n\times m}$。
• 性质：$(A^T)^T=A$，$(AB)^T=B^T A^T$，$(kA)^T=kA^T$。

（7）方阵的行列式

• 定义：由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素构成的行列式，记为 $|A|$ 或 $\det A$。
• 性质：
  • $|A^T|=|A|$。
  • $|kA|=k^n|A|$（$n$ 为方阵的阶数）。
  • $|AB|=|BA|=|A|\cdot|B|$（$A,B$ 均为 $n$ 阶方阵）。

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课时七 矩阵的逆（一）

核心知识点

1. 矩阵的逆的定义

• 对于 $n$ 阶矩阵 $A$（只有方阵才有逆），存在一个 $n$ 阶矩阵 $B$，使 $BA=AB=E_n$，称 $A$ 可逆，且 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}=B$。
• 若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $AB=E$，则 $A$ 可逆，且 $|A|\neq0$。

2. 伴随矩阵

• 定义：$A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$，其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
• 性质：
  • $AA^*=A^*A=|A|E$。
  • 若 $A$ 可逆，则 $A^*=|A|A^{-1}$。
  • 二阶方阵特例：$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，则 $A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$（主对角线元素交换，副对角线变号）。

3. 可逆矩阵的条件

• 法一：$|A|\neq0\Leftrightarrow A$ 可逆（此时 $A$ 称为非奇异矩阵）；$|A|=0\Leftrightarrow A$ 不可逆（奇异矩阵）。
• 法二：若 $AB=BA=E\Rightarrow A$ 可逆，$B$ 可逆。
• 法三：$r(A_n)=n\Leftrightarrow A$ 可逆；$r(A_n)<n\Leftrightarrow A$ 不可逆。

4. 逆矩阵的求法（伴随矩阵法）

• 若 $|A|\neq0$，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$。

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课时八 矩阵的逆（二）

核心知识点

1. 可逆矩阵的性质

设 $A,B$ 均为可逆矩阵：

• $A^{-1}$ 可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$，$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$。
• $\lambda A$（$\lambda\neq0$）可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$。
• $AB$ 可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；推广：$(A_1A_2\cdots A_k)^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}$。
• $A^T$ 可逆，且 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。
• $A^*$ 可逆，且 $(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。

2. 可逆矩阵的求法

• 定义法（待定系数法）：设 $AB=BA=E$，通过解方程求出 $B$。
• 伴随矩阵法：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$（适用于低阶矩阵）。
• 行变换法：$(A|E)\xrightarrow{初等行变换}(E|A^{-1})$（适用于高阶矩阵）。

3. 矩阵方程求解

• 类型1：$Ax=B$，若 $A$ 可逆，则 $x=A^{-1}B$。
• 类型2：$xA=B$，若 $A$ 可逆，则 $x=BA^{-1}$。
• 类型3：$AxC=B$，若 $A,C$ 可逆，则 $x=A^{-1}BC^{-1}$。
• 若 $A$ 不可逆，转化为线性方程组求解。

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课时九 矩阵的分块

核心知识点

1. 分块矩阵的运算

（1）加减

• 若 $A,B$ 为同型矩阵，且分块方式相同，则 $A+B$ 的对应子块相加。

（2）数乘

• $kA$ 的每个子块都乘以 $k$。

（3）乘法

• 设 $A_{m\times s}$ 分块为 $\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1t}\\\vdots&\ddots&\vdots\\A_{s1}&\cdots&A_{st}\end{pmatrix}$，$B_{s\times n}$ 分块为 $\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots&B_{1r}\\\vdots&\ddots&\vdots\\B_{t1}&\cdots&B_{tr}\end{pmatrix}$，则 $AB=\begin{pmatrix}\sum_{k=1}^tA_{1k}B_{k1}&\cdots&\sum_{k=1}^tA_{1k}B_{kr}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sum_{k=1}^tA_{sk}B_{k1}&\cdots&\sum_{k=1}^tA_{sk}B_{kr}\end{pmatrix}$（$A$ 的列分块数= $B$ 的行分块数）。

（4）转置

• 若 $A=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1t}\\\vdots&\ddots&\vdots\\A_{s1}&\cdots&A_{st}\end{pmatrix}$，则 $A^T=\begin{pmatrix}A_{11}^T&\cdots&A_{s1}^T\\\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1t}^T&\cdots&A_{st}^T\end{pmatrix}$。

2. 分块对角阵

• 定义：形如 $\begin{pmatrix}A_1&&\\&A_2&\\&&\ddots\\&&&A_k\end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其中 $A_1,A_2,\cdots,A_k$ 均为方阵。
• 性质：
  • $|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_k|$。
  • 若 $A_i$ 可逆，则 $A^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}&&\\&A_2^{-1}&\\&&\ddots\\&&&A_k^{-1}\end{pmatrix}$。

3. 分块行列式

• 分块对角阵的行列式：$|\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}|=|A||B|$，$|\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}|=(-1)^{mn}|A||B|$（$A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵）。

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课时十 初等变换

核心知识点

1. 三种初等变换（行→$r$，列→$c$）

• 对调两行（两列）：$r_i\leftrightarrow r_j$（行对调），$c_i\leftrightarrow c_j$（列对调）。
• 数乘某一行（列）：$r_i\times k$（$k\neq0$，行乘$k$），$c_i\times k$（$k\neq0$，列乘$k$）。
• 倍加：$r_i+kr_j$（第$j$行的$k$倍加到第$i$行），$c_i+kc_j$（第$j$列的$k$倍加到第$i$列）。

2. 矩阵的等价

• 定义：$A$ 经过有限次初等变换到 $B$，则 $A$ 与 $B$ 等价，记为 $A\cong B$。
• 行阶梯形矩阵：
  • 可画出一条阶梯线，线下全是0。
  • 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行数（秩）。
  • 阶梯线台阶头非零。
• 行最简形：台阶头为1，所在列其余元素皆为0。
• 矩阵标准型：左上角为单位矩阵 $E_r$，其余元素为0，即 $\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}$。
• 结论：
  • $A_{m\times n}$ 可经有限次初等变换化为标准型。
  • $A_n$ 可逆 $\Leftrightarrow A_n\cong E_n$。

3. 三种初等矩阵

• 定义：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
  • 互换两行（列）：$E(i,j)$（交换单位矩阵的第$i,j$行或列）。
  • 数乘某行（列）：$E[i(k)]$（单位矩阵的第$i$行或列乘$k$，$k\neq0$）。
  • 倍加某行（列）：$E[i,j(k)]$（单位矩阵第$j$行的$k$倍加到第$i$行，或第$i$列的$k$倍加到第$j$列）。
• 作用（左行右列）：
  • 对 $A_{m\times n}$ 作初等行变换，相当于用相应的 $m$ 阶初等矩阵左乘 $A$。
  • 对 $A_{m\times n}$ 作初等列变换，相当于用相应的 $n$ 阶初等矩阵右乘 $A$。

4. 应用

（1）求逆矩阵

• 行变换法：$(A|E)\xrightarrow{初等行变换}(E|A^{-1})$。

（2）求解矩阵方程

• 对于 $Ax=B$：$(A|B)\xrightarrow{初等行变换}(E|A^{-1}B)$，右边即为 $x$。
• 对于 $xA=B$：$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\xrightarrow{初等列变换}\begin{pmatrix}E\\BA^{-1}\end{pmatrix}$，下边即为 $x$。

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课时十一 矩阵的秩

核心知识点

1. $k$ 阶子式

• 定义：$A=(a_{ij})_{m\times n}$，从中任取 $k$ 行 $k$ 列（$k\leq\min(m,n)$），保持原来相对位置不变，组成的行列式称为 $k$ 阶子式。

2. 秩定义

• 定义：$A=(a_{ij})_{m\times n}$ 中不为0的子式的最高阶数称为 $A$ 的秩，记作 $r(A)$ 或 $R(A)$。
• 结论：
  • $R(A)<r\Leftrightarrow A$ 中所有 $r$ 阶子式全为0。
  • $R(A)\geq r\Leftrightarrow A$ 中至少有一个 $r$ 阶子式不为0。
  • $R(O)=0$，$R(A)=0\Leftrightarrow A=O$。
  • 行满秩：$R(A)=m$（$A_{m\times n}$）；列满秩：$R(A)=n$（$A_{m\times n}$）；满秩：$R(A)=n$（$A_{n\times n}$）。

3. 矩阵秩的性质和结论

• $0\leq R(A_{m\times n})\leq\min(m,n)$。
• $R(A^T)=R(A)$。
• 若 $A\cong B$，则 $R(A)=R(B)$（初等变换不改变秩）。
• 若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)$。
• $R(AB)\leq\min(R(A),R(B))$。
• 若 $AB=O$，则 $R(A)+R(B)\leq n$（$A_{m\times n}$，$B_{n\times p}$）。
• 伴随矩阵的秩：
  • 若 $R(A_n)=n$，则 $R(A^*)=n$。
  • 若 $R(A_n)=n-1$，则 $R(A^*)=1$。
  • 若 $R(A_n)<n-1$，则 $R(A^*)=0$。

4. 矩阵秩的求法

• 定义法：找出最高阶非零子式的阶数。
• 初等变换法：将矩阵化为行阶梯形，台阶数即为秩。

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课时十二 向量概念与线性计算

核心知识点

1. 概念

• $n$ 维向量：$n$ 个数 $a_1\cdots -n$ 组成的有序数组，记作：$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,-n)$（行向量）或 $\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\-n\end{pmatrix}$（列向量）。
• 向量组：若干同维数的向量组成的集合。
• 向量组与矩阵的关系：
  • $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 有 $n$ 个 $m$ 维列向量：$\alpha_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{pmatrix}$（$j=1,\cdots,n$），称为列向量组。
  • 有 $m$ 个 $n$ 维行向量：$\beta-i=(a_{i1},\cdots,a_{in})$（$i=1,\cdots,m$），称为行向量组。

2. 向量的运算

（1）线性运算（加减、数乘）

• 加减：$\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,-n+b_n)$，$\alpha-\beta=(a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,-n-b_n)$。
• 数乘：$k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,k-n)$（$k$ 为常数）。

（2）内积

• 定义：$\alpha=(a_1,\cdots,-n)$，$\beta=(b_1,\cdots,b_n)$，则 $[\alpha,\beta]=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+-nb_n$。
• 性质：
  • $[\alpha,\beta]=[\beta,\alpha]$。
  • $[k\alpha,\beta]=k[\alpha,\beta]$。
  • $[\alpha+\beta,\gamma]=[\alpha,\gamma]+[\beta,\gamma]$。
  • $[\alpha,\alpha]\geq0$，当且仅当 $\alpha=0$ 时等号成立。

（3）长度（范数）

• 定义：$\|\alpha\|=\sqrt{[\alpha,\alpha]}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+-n^2}$。

（4）正交

• 定义：若 $[\alpha,\beta]=0$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交。

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课时十三 线性相关与线性无关

核心知识点

1. 线性组合与线性表示

• 线性组合：设有 $m$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$，有 $m$ 个数 $k_1,\cdots,k_m$，则 $k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m$ 称为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 的线性组合。
• 线性表示：给定向量组 $A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 和向量 $b$，若存在一组数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$，使得 $\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_m\alpha_m=b$，则称 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示。
• 判定定理：向量 $b$ 能由 $A$ 线性表示 $\Leftrightarrow r(A)=r(A|b)$（$A$ 为向量组构成的矩阵，$A|b$ 为增广矩阵）。

2. 线性相关与线性无关

• 线性相关：对 $n$ 维向量组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$，若存在不全为零的数 $k_1,\cdots,k_s$，使得 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$，则称该向量组线性相关。
• 线性无关：若仅当 $k_1=\cdots=k_s=0$ 时，$k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$ 成立，则称该向量组线性无关。

3. 判定方法

（1）定义法

• 假设 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$，求解方程组，若有非零解则相关，仅有零解则无关。

（2）矩阵秩法

• 设 $A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$（列向量组），则：
  • 向量组相关 $\Leftrightarrow r(A)<s$。
  • 向量组无关 $\Leftrightarrow r(A)=s$。
• 特例：$n$ 个 $n$ 维向量组相关 $\Leftrightarrow |A|=0$；无关 $\Leftrightarrow |A|\neq0$。

（3）性质法

• 含有零向量的向量组必相关。
• 单独的零向量相关，单独的非零向量无关。
• 成比例的两个向量必相关。
• $n+1$ 个 $n$ 维向量组必相关。
• 若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 无关，$\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta$ 相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 唯一线性表示。
• 相关组添加向量仍相关；无关组减少向量仍无关。

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课时十四 向量组的秩和极大线性无关组

核心知识点

1. 向量组的等价

• 线性表示：若向量组 $B:\beta_1,\cdots,\beta-n$ 中每个向量都可由向量组 $A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性表示，则称 $B$ 可由 $A$ 线性表示。
• 等价定义：若 $A$ 与 $B$ 互相线性表示，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记为 $A\cong B$。
• 判定定理：$A\cong B\Leftrightarrow r(A)=r(B)=r(A|B)$。

2. 极大线性无关组

• 定义：设向量组 $A$ 的一个部分组 $\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{ir}$ 满足：
  • 线性无关。
  • 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（若存在）都线性相关，则称该部分组为 $A$ 的极大线性无关组。
• 性质：
  • 向量组与它的极大线性无关组等价。
  • 同一向量组的极大线性无关组所含向量个数相同。
• 求法：将向量组构成矩阵，作行初等变换化为行阶梯形，主元所在列对应的原向量即为极大线性无关组。

3. 向量组的秩

• 定义：极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记为 $r(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$。
• 性质：
  • $r(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)=r(A)$（$A$ 为向量组构成的矩阵）。
  • 若 $B$ 可由 $A$ 线性表示，则 $r(B)\leq r(A)$。
  • 若 $A\cong B$，则 $r(A)=r(B)$。

4. 向量空间

• 定义：全体 $n$ 维向量连同向量的加法和数乘运算构成 $n$ 维向量空间，记为 $\mathbb{R}^n$。
• 基与维数：
  • 基：若向量空间 $W$ 中 $m$ 个向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 无关，且 $\forall\beta\in W$ 都可由其线性表示，则称 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 为 $W$ 的一个基。
  • 维数：基中所含向量的个数，记为 $\dim W=m$。
• 坐标：设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 为 $W$ 的基，$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m$，则 $(k_1,\cdots,k_m)^T$ 为 $\beta$ 在该基下的坐标。
• 过渡矩阵：设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 与 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的两个基，若 $(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)C$，则 $C$ 为从 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的过渡矩阵，且 $C$ 可逆。

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课时十五 线性方程组（一）

核心知识点

1. 三种形式

（1）齐次线性方程组

• 方程形式：$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0\end{cases}$
• 矩阵形式：$Ax=0$（$A$ 为 $m\times n$ 系数矩阵，$x=(x_1,\cdots,x_n)^T$ 为未知数向量）。
• 向量形式：$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0$（$\alpha_j$ 为 $A$ 的列向量）。

（2）非齐次线性方程组

• 方程形式：$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$（$b_1,\cdots,b_m$ 不全为0）。
• 矩阵形式：$Ax=b$（$b=(b_1,\cdots,b_m)^T$ 为常数项向量）。
• 向量形式：$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b$。

2. 方程组有解定理

（1）非齐次线性方程组 $Ax=b$

• 无解 $\Leftrightarrow r(A)\neq r(\overline{A})$（$\overline{A}=(A|b)$ 为增广矩阵）。
• 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=n$（$n$ 为未知数个数）。
• 有无穷多解 $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})<n$。

（2）齐次线性方程组 $Ax=0$

• 必有零解。
• 有非零解 $\Leftrightarrow r(A)<n$。
• 仅有零解 $\Leftrightarrow r(A)=n$。

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课时十六 线性方程组（二）

核心知识点

1. 齐次方程组 $Ax=0$

（1）解的性质

• 若 $\xi$ 是解，则 $k\xi$（$k$ 为常数）也是解。
• 若 $\xi_1,\xi_2$ 是解，则 $k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1,k_2$ 为常数）也是解。
• 解集合构成向量空间，称为解空间。

（2）基础解系

• 定义：解空间的一个基称为基础解系，设为 $\xi_1,\cdots,\xi_{n-r}$（$r=r(A)$），满足：
  • 线性无关。
  • 所有解都可由其线性表示。
• 个数：基础解系所含向量个数为 $n-r$。

（3）通解

• 通解公式：$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$（$k_1,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数）。

2. 非齐次方程组 $Ax=b$

（1）解的性质

• 若 $\alpha,\beta$ 是解，则 $\alpha-\beta$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解。
• 若 $\alpha$ 是 $Ax=b$ 的解，$\eta$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $\alpha+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。
• 若 $x_1,\cdots,x_s$ 是 $Ax=b$ 的解，且 $k_1+\cdots+k_s=1$，则 $k_1x_1+\cdots+k_sx_s$ 也是 $Ax=b$ 的解。

（2）通解结构

• 通解公式：$x=x^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$，其中 $x^*$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，$\xi_1,\cdots,\xi_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，$k_1,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。

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课时十七 特征值和特征向量

核心知识点

1. 特征值与特征向量

（1）概念

• 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在数 $\lambda$ 及非零 $n$ 维向量 $x$，使 $Ax=\lambda x$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$x$ 为 $A$ 对应特征值 $\lambda$ 的特征向量。
• 几何意义：对某一方向上的非零向量只有伸缩作用。

（2）相关定义

• 特征多项式：$f(\lambda)=|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix}$。
• 特征方程：$|A-\lambda E|=0$，其根即为特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$（可重根）。

（3）求法

1. 解特征方程 $|A-\lambda E|=0$，得所有特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。
2. 对每个 $\lambda_i$，解方程组 $(A-\lambda_i E)x=0$，得基础解系，即为对应 $\lambda_i$ 的线性无关特征向量，所有非零线性组合为全部特征向量。

2. 性质

• 特征值之和：$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=tr(A)$（$tr(A)$ 为矩阵的迹）。
• 特征值之积：$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$。
• 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$x$ 是对应特征向量，则：
  • $k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值，$x$ 是对应特征向量。
  • $\lambda^m$ 是 $A^m$ 的特征值，$x$ 是对应特征向量。
  • 若 $A$ 可逆，则 $\lambda\neq0$，$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，$x$ 是对应特征向量；$\frac{|A|}{\lambda}$ 是 $A^*$ 的特征值，$x$ 是对应特征向量。
• 不同特征值对应的特征向量必线性无关。
• 若 $\lambda_0$ 是 $k$ 重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数不超过 $k$。

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课时十八 对角化

核心知识点

1. 相似对角化

（1）相似的概念

• 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\sim B$。
• 若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}$（对角矩阵），则称 $A$ 可相似对角化，记为 $A\sim\Lambda$。

（2）相似的性质

• 若 $A\sim B$，则 $|A|=|B|$，$tr(A)=tr(B)$，$r(A)=r(B)$。
• 若 $A\sim B$，则 $A^m\sim B^m$，$f(A)\sim f(B)$（$f$ 为多项式）。
• 若 $A\sim B$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值。

（3）对角化的条件

• 充要条件：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
• 充要条件：对 $A$ 的每个 $k$ 重特征值 $\lambda_i$，对应有 $k$ 个线性无关的特征向量（即 $r(A-\lambda_i E)=n-k$）。
• 充分条件：$A$ 有 $n$ 个不同的特征值。
• 充分条件：$A$ 为实对称矩阵。

（4）相似对角化的步骤

1. 求 $A$ 的所有特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。
2. 对每个特征值 $\lambda_i$，求 $(A-\lambda_i E)x=0$ 的基础解系，得线性无关特征向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$。
3. 令 $P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，则 $P^{-1}AP=\Lambda$，其中 $\Lambda$ 的对角线元素为对应的特征值。

2. 正交相似对角化（实对称矩阵）

（1）实对称矩阵的性质

• 实对称矩阵的特征值均为实数。
• 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。
• 实对称矩阵一定可相似对角化，且可正交对角化（存在正交矩阵 $Q$，使 $Q^T A Q=\Lambda$）。

（2）正交矩阵

• 定义：若 $Q^T Q=E$（或 $Q Q^T=E$），则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{-1}=Q^T$。
• 性质：正交矩阵的列（行）向量组是两两正交的单位向量组。

（3）施密特正交化

• 正交化：设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，令：
  • $\beta_1=\alpha_1$。
  • $\beta_2=\alpha_2-\frac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1$。
  • $\beta_3=\alpha_3-\frac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1-\frac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}\beta_2$。
  • $\vdots$
  • $\beta_s=\alpha_s-\sum_{k=1}^{s-1}\frac{[\alpha_s,\beta_k]}{[\beta_k,\beta_k]}\beta_k$。
• 规范化（单位化）：$\gamma_i=\frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$（$i=1,\cdots,s$）。

（4）正交对角化步骤

1. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。
2. 求对应特征向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$。
3. 对重特征值对应的特征向量作施密特正交化。
4. 所有特征向量规范化，得 $\gamma_1,\cdots,\gamma_n$。
5. 令 $Q=(\gamma_1,\cdots,\gamma_n)$，则 $Q^T A Q=\Lambda$。

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课时十九 二次型

核心知识点

1. 二次型定义

（1）概念

• 含有 $n$ 个变量 $x_1,\cdots,x_n$ 的二次齐次多项式：$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$（$a_{ij}=a_{ji}$），称为 $n$ 元二次型。

（2）矩阵形式

• $f(x)=x^T A x$，其中 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为实对称矩阵（称为二次型的矩阵），$x=(x_1,\cdots,x_n)^T$。
• 注：主对角线元素 $a_{ii}$ 是平方项系数，交叉项系数 $a_{ij}(i\neq j)$ 是原交叉项系数的一半。

（3）标准形与规范形

• 标准形：只有平方项，无交叉项，即 $f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。
• 规范形：平方项系数仅为 $1,-1,0$，即 $f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$（$r$ 为二次型的秩，$p$ 为正惯性指数，$r-p$ 为负惯性指数）。

2. 合同矩阵

• 定义：设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^T A C=B$，则称 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A\simeq B$。
• 判定定理：实对称矩阵 $A\simeq B\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 有相同的正、负惯性指数。
• 关系：相似 $\Rightarrow$ 合同（实对称矩阵），合同 $\nRightarrow$ 相似。

3. 二次型标准化

（1）正交变换法

• 定理：存在正交矩阵 $Q$，使得 $x=Qy$，将二次型化为标准形 $f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$，其中 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 为 $A$ 的特征值。
• 步骤：
  1. 写出二次型矩阵 $A$。
  2. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$。
  3. 求特征向量并正交化、规范化，得 $Q$。
  4. 作正交变换 $x=Qy$，得标准形。

（2）配方法

• 含平方项：先对某变量的平方项及交叉项配方，消去该变量，重复操作直至化为标准形。
• 不含平方项：先作可逆线性变换构造平方项，再配方。

4. 惯性定理

• 二次型经任意可逆线性变换化为标准形，其正、负惯性指数不变（与变换无关）。

5. 矩阵正定性

（1）正定二次型与正定矩阵

• 定义：对任意 $x\neq0$，总有 $x^T A x>0$，则称 $f$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵。
• 半正定：$x^T A x\geq0$；负定：$x^T A x<0$；半负定：$x^T A x\leq0$。

（2）正定的判定

• 充要条件：
  1. 正惯性指数 $p=n$。
  2. $A$ 的所有特征值均为正数。
  3. $A$ 的各阶顺序主子式均大于0。
  4. $A$ 与 $E$ 合同（存在可逆矩阵 $C$，使 $A=C^T C$）。
• 必要条件：$a_{ii}>0$（主对角线元素），$|A|>0$。

5. 矩阵正定性（补充延伸）

（1）各类型二次型的判定对比

类型	定义（对任意$x \neq 0$）	核心判定条件（实对称矩阵$A$）
正定	$x^T A x > 0$	1. 正惯性指数$p=n$；2. 所有特征值$\lambda_i > 0$；3. 各阶顺序主子式$>0$；4. $A \simeq E$
半正定	$x^T A x \geq 0$	1. 正惯性指数$p=r(A) < n$；2. 所有特征值$\lambda_i \geq 0$；3. 各阶主子式$\geq 0$
负定	$x^T A x < 0$	1. 负惯性指数$r-p = n$；2. 所有特征值$\lambda_i < 0$；3. 奇数阶顺序主子式$<0$，偶数阶$>0$
半负定	$x^T A x \leq 0$	1. 负惯性指数$r-p = r(A) < n$；2. 所有特征值$\lambda_i \leq 0$；3. 奇数阶主子式$\leq 0$，偶数阶$\geq 0$
不定	存在$x_1,x_2 \neq 0$，使$x_1^T A x_1 > 0$且$x_2^T A x_2 < 0$	存在正、负特征值；正、负惯性指数均$\geq 1$

（2）正定矩阵的性质

• 若$A,B$均为$n$阶正定矩阵，则：
  1. $A+B$正定（$x^T(A+B)x = x^T A x + x^T B x > 0$，因$x^T A x > 0$且$x^T B x > 0$）；
  2. $kA$正定（$k > 0$，$x^T(kA)x = k(x^T A x) > 0$）；
  3. $A^{-1}, A^*, A^k$（$k$为正整数）均正定（特征值均为正）；
  4. $C^T A C$正定（$C$为$n$阶可逆矩阵，因$x \neq 0 \Rightarrow Cx \neq 0$，故$x^T(C^T A C)x = (Cx)^T A (Cx) > 0$）。

补充：矩阵的等价、相似、合同关系对比

关系类型	定义（$A,B$为矩阵）	核心条件	性质（若关系成立）	适用范围
等价（$\cong$）	存在可逆矩阵$P_{m \times m}, Q_{n \times n}$，使$P A Q = B$（$A_{m \times n}, B_{m \times n}$）	$r(A) = r(B)$且同型	秩相等；可通过初等变换互化	任意$m \times n$矩阵
相似（$\sim$）	存在可逆矩阵$P_{n \times n}$，使$P^{-1} A P = B$（$A,B$为$n$阶方阵）	1. 特征值相同；2. 可对角化时特征值完全一致（含重数）	$	A
合同（$\simeq$）	存在可逆矩阵$C_{n \times n}$，使$C^T A C = B$（$A,B$为$n$阶实对称矩阵）	正、负惯性指数相同；特征值符号分布一致	$r(A)=r(B)$；正、负惯性指数相等	$n$阶实对称矩阵
关系推导	1. 相似（实对称矩阵）$\Rightarrow$ 合同；2. 合同/相似 $\Rightarrow$ 等价；3. 等价/合同 $\nRightarrow$ 相似	-	-	-

补充：向量空间的基与坐标变换（细化）

（1）基的判定

• $n$维向量空间$\mathbb{R}^n$中，$n$个向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是基的充要条件：
  1. 线性无关；
  2. 任意$\beta \in \mathbb{R}^n$可由$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$线性表示（等价于$r(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) = n$）。

（2）坐标变换公式

设$\mathbb{R}^n$的两个基：

• 旧基：$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，过渡矩阵$C$（满足$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)C$）；
• 新基：$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$。

若向量$\gamma$在旧基下坐标为$X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，在新基下坐标为$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，则：

• 坐标变换公式：$X = C Y$ 或 $Y = C^{-1} X$（因$\gamma = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)X = (\beta_1,\cdots,\beta_n)Y = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)C Y$，故$X = C Y$）。

（3）过渡矩阵的求法

1. 构造矩阵$A = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，$B = (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$；
2. 作增广矩阵$(A|B)$，通过初等行变换化为$(E|C)$，则$C = A^{-1} B$即为从旧基到新基的过渡矩阵。

补充：线性方程组解的结构（应用注意事项）

（1）齐次方程组$Ax=0$基础解系的选取技巧

• 对系数矩阵$A$作初等行变换化为行最简形，设自由变量为$x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_n$（$r=r(A)$）；
• 令自由变量取“单位坐标向量”（如$x_{r+1}=1,x_{r+2}=\cdots=x_n=0$；$x_{r+1}=0,x_{r+2}=1,x_{r+3}=\cdots=x_n=0$；$\cdots$；$x_{r+1}=\cdots=x_{n-1}=0,x_n=1$），代入行最简形方程，解得基础解系$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$，确保线性无关。

（2）非齐次方程组$Ax=b$特解的选取技巧

• 优先令自由变量为$0$，代入行最简形方程求解非自由变量，得到特解$x^*$（计算简便，减少误差）；
• 例：若行最简形为$\begin{pmatrix}1&0&2&-1&3\\0&1&-1&2&-2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$（对应方程$x_1+2x_3-x_4=3$，$x_2-x_3+2x_4=-2$），令自由变量$x_3=0,x_4=0$，得$x_1=3,x_2=-2$，特解$x^*=(3,-2,0,0)^T$。

（3）解的存在性与参数的关系

• 含参数的线性方程组（如$A(\lambda)x = b$），需通过讨论参数$\lambda$的取值，分析$r(A(\lambda))$与$r(\overline{A}(\lambda))$的关系，确定无解、唯一解、无穷多解的参数范围：
  1. 无解：$r(A(\lambda)) < r(\overline{A}(\lambda))$；
  2. 唯一解：$r(A(\lambda)) = r(\overline{A}(\lambda)) = n$（$n$为未知数个数）；
  3. 无穷多解：$r(A(\lambda)) = r(\overline{A}(\lambda)) < n$。