矩阵的逆矩阵

一、伴随矩阵法

原理

若 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式 $|A| \neq 0$（即 $A$ 可逆），则逆矩阵公式为：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$

其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵（由 $A$ 的代数余子式转置得到）。

步骤

1. 计算行列式 $|A|$：判断 $A$ 是否可逆（若 $|A| = 0$，则 $A$ 不可逆）。
2. 求代数余子式 $A_{ij}$：对矩阵 $A = (a_{ij})$，元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为：

   $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

   其中 $M_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的余子式（划去 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列后剩余子矩阵的行列式）。
3. 构造伴随矩阵 $A^*$：将代数余子式矩阵转置，得到伴随矩阵 $A^*$（即 $A^*$ 的 $(i,j)$ 元为 $A_{ji}$）。
4. 计算逆矩阵：代入公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$。

例子（2 阶矩阵）

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

• 步骤 1：计算行列式 $|A|$

  $|A| = 2 \times 4 - 1 \times 3 = 5 \neq 0$

  因此 $A$ 可逆。

• 步骤 2：求代数余子式

  • $A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (-1)^2 \times 4 = 4$（$M_{11}$ 是划去第 1 行第 1 列后的行列式，即 $4$）
  • $A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^3 \times 3 = -3$（$M_{12}$ 是划去第 1 行第 2 列后的行列式，即 $3$）
  • $A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)^3 \times 1 = -1$（$M_{21}$ 是划去第 2 行第 1 列后的行列式，即 $1$）
  • $A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (-1)^4 \times 2 = 2$（$M_{22}$ 是划去第 2 行第 2 列后的行列式，即 $2$）

• 步骤 3：构造伴随矩阵 $A^*$
  代数余子式矩阵为 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，转置后得到：

  $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

• 步骤 4：计算逆矩阵
  代入公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，得：

  $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

二、初等行变换法（高斯 - 若尔当法）

原理

对增广矩阵 $(A \mid E)$（$E$ 为单位矩阵）实施初等行变换，将左边的 $A$ 化为单位矩阵 $E$ 时，右边的 $E$ 会同步化为 $A^{-1}$，即：

$(A \mid E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E \mid A^{-1})$

步骤

1. 构造增广矩阵：将 $A$ 与同阶单位矩阵 $E$ 并排，写成 $(A \mid E)$。
2. 初等行变换化简：通过三种初等行变换（交换行、行乘非零常数、行加倍数行），将左边的 $A$ 化为单位矩阵 $E$。
3. 提取逆矩阵：左边化为 $E$ 后，右边的矩阵即为 $A^{-1}$。

例子（同上述 2 阶矩阵）

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

• 步骤 1：构造增广矩阵

  $(A \mid E) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \mid & 1 & 0 \\ 3 & 4 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• 步骤 2：初等行变换

  • 第 1 行乘以 $\frac{1}{2}$（记为 $R_1 = \frac{1}{2}R_1$），得：

    $\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \mid & \frac{1}{2} & 0 \\ 3 & 4 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}$

  • 第 2 行减去第 1 行的 3 倍（记为 $R_2 = R_2 - 3R_1$），得：

    $\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \mid & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & \mid & -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}$

  • 第 2 行乘以 $\frac{2}{5}$（记为 $R_2 = \frac{2}{5}R_2$），得：

    $\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \mid & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \mid & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

  • 第 1 行减去第 2 行的 $\frac{1}{2}$ 倍（记为 $R_1 = R_1 - \frac{1}{2}R_2$），得：

    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \mid & -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

• 步骤 3：提取逆矩阵
  右边矩阵即为 $A^{-1}$：

  $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

两种方法对比

• 伴随矩阵法：步骤固定，但需计算行列式、代数余子式，高阶矩阵计算量大。
• 初等行变换法：更直观，通过 “化简” 直接得到逆矩阵，适合手算和高阶矩阵。

三、伴随矩阵法求 4 阶矩阵的逆矩阵

例题：设 4 阶分块对角矩阵 $A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^{-1}$。

步骤 1：判断可逆性（计算行列式 $|A|$）

分块对角矩阵的行列式等于主对角线分块行列式的乘积：

$|A| = |B| \cdot |C|$

• 计算 $|B|$：

  $|B| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$

• 计算 $|C|$：

  $|C| = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1$

因此，$|A| = (-2) \times 1 = -2 \neq 0$，故 $A$ 可逆。

步骤 2：求伴随矩阵 $A^*$

分块对角矩阵的伴随矩阵仍为分块对角矩阵，且：

$A^* = \begin{pmatrix} |C| \cdot B^* & 0 \\ 0 & |B| \cdot C^* \end{pmatrix}$

（其中 $B^*$、$C^*$ 分别是 $B$、$C$ 的伴随矩阵）

（1）求 $B^*$

对 2 阶矩阵 $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，伴随矩阵为 $B^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，因此：

$B^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

（2）求 $C^*$

同理，对 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，伴随矩阵为：

$C^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

（3）构造 $A^*$

代入分块公式：

$A^* = \begin{pmatrix} |C| \cdot B^* & 0 \\ 0 & |B| \cdot C^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} & 0 \\ 0 & (-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$

展开得：

$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

步骤 3：计算逆矩阵 $A^{-1}$

由公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，代入 $|A| = -2$：

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot A^* = \begin{pmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} & 0 & 0 \\ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2}{-2} & \frac{2}{-2} \\ 0 & 0 & \frac{2}{-2} & \frac{-4}{-2} \end{pmatrix}$

化简得：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

四、初等行变换法求 4 阶矩阵的逆矩阵

例题：求 4 阶下三角矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。

步骤 1：构造增广矩阵 $(A \mid E)$

将 $A$ 与 4 阶单位矩阵 $E$ 并排，形成 8 列矩阵：

$(A \mid E) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & \mid & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & \mid & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & \mid & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 5 & \mid & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

步骤 2：初等行变换化简左边为单位矩阵 $E$

目标：通过行交换、行乘常数、行加倍数行，将左边 4 列化为 $E$。

（1）处理第 1 列（使 $a_{11}=1$，下方元素为 0）

• 第 1 行除以 2（记为 $R_1 = \frac{1}{2}R_1$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & \mid & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & \mid & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 5 & \mid & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• 第 2 行减第 1 行（记为 $R_2 = R_2 - R_1$）；第 4 行减第 1 行（记为 $R_4 = R_4 - R_1$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & \mid & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 5 & \mid & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

（2）处理第 2 列（使 $a_{22}=1$，上下元素为 0）

• 第 2 行除以 3（记为 $R_2 = \frac{1}{3}R_2$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & \mid & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 5 & \mid & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• 第 3 行减第 2 行的 2 倍（记为 $R_3 = R_3 - 2R_2$）；第 4 行减第 2 行（记为 $R_4 = R_4 - R_2$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & \mid & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & \mid & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

（3）处理第 3 列（使 $a_{33}=1$，上下元素为 0）

• 第 3 行除以 4（记为 $R_3 = \frac{1}{4}R_3$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & \frac{1}{12} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & \mid & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• 第 4 行减第 3 行（记为 $R_4 = R_4 - R_3$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & \frac{1}{12} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & \mid & -\frac{5}{12} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}$

（4）处理第 4 列（使 $a_{44}=1$）

• 第 4 行除以 5（记为 $R_4 = \frac{1}{5}R_4$），得：

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & \frac{1}{12} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & -\frac{1}{12} & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{20} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

步骤 3：提取逆矩阵

左边已化为单位矩阵 $E$，右边即为 $A^{-1}$：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{1}{12} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & 0 \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{20} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

五、逆矩阵的行列式性质补充

若 $A$ 可逆，则逆矩阵的行列式满足：

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

该结论由行列式乘法性质 $|AA^{-1}| = |E| = 1$（结合 $|AB| = |A||B|$）推导而来，与"伴随矩阵求逆"的公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$ 是逆矩阵的不同性质，二者不矛盾。

总结

• 伴随矩阵法适合分块结构的 4 阶矩阵（利用分块性质简化计算）；
• 初等行变换法更通用，通过逐步消元将左边化为单位矩阵，直接得到逆矩阵，适合手动计算。